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CANTOR
(1845-1918)



Georg Ferdinand Ludwig Philipp Cantor había nacido en San Petersburgo, Rusia el 3 de marzo de 1845.

Cantor asistió a escuelas privadas de Francfort y de Darmstadt, ingresando en el Instituto de Tiesbaden en 1860, con 15 años.

Comenzó sus estudios universitarios en Zurich, en 1862, pero pasó a la Universidad de Berlín al siguiente año, después de la muerte de su padre.

En Berlín se especializó en Matemática, filosofía y física. En Matemática sus profesores fueron Kummer, Weierstrass y su futuro enemigo Kronecker.

En 1872 fue nombrado profesor ayudante y, en 1879, fue nombrado profesor ordinario. En la primavera de 1884, Cantor sufrió el primero de aquellos completos derrumbes psicológicos que padeció a lo largo de su vida.

Buena parte de la teoría positiva del infinito fue realizada en el intervalo entre dos accesos. Al restablecerse de ellos veía que su mente se hacía extraordinariamente clara.

Kronecker ha sido (quizá) excesivamente culpado por la tragedia de Cantor aunque su animadversión hacia éste fue una de las muchas causas que contribuyeron a ella.

La falta de reconocimiento amargó a Cantor, que creía había dado el primer y decisivo paso hacia una teoría racional del infinito y esto le hizo caer en la melancolía y en la locura.

Kronecker, sin embargo, parece que sí fue, en gran parte, responsable del fracaso de Cantor para lograr el cargo que éste deseaba en Berlín. En 1891 comenzó a criticar la obra de Cantor ante sus discípulos de Berlín, desacreditándole ante éstos.

No obstante, hubo quien aceptó sus teorías, entre los que el genial Hermite fue uno de los más entusiastas.
Su cordial aceptación de la nueva doctrina matemática sirvió de gran alivio al atormentado Cantor.

Éste murió en un hospital de enfermedades mentales en Halle, el 6 de enero de 1918, teniendo 73 años. Ya le habían sido concedidos múltiples honores y su obra había logrado ser reconocida.

Kronecker y Cantor se habían reconciliado, al menos superficialmente, algunos años antes de la muerte de aquél, ocurrida en 1891.

Cantor descubrió que los conjuntos infinitos no tienen siempre el mismo tamaño, o sea el mismo cardinal:

El conjunto de los racionales es numerable, es decir, del mismo tamaño que el conjunto de los naturales, mientras que el de los reales no lo es.

Existen, pues, varios infinitos, más grandes los unos que los otros. Entre estos infinitos, los hay tan grandes que no tienen correspondencia en el mundo real, asimilado al espacio vectorial de tres dimensiones.

Cantor demostró que el conjunto de todos los enteros racionales contiene precisamente tantos números como el <<infinitamente más numeroso>> conjunto de todos los números algebraicos.

El resultado espectacular de Cantor de que el conjunto de todos los números algebraicos es semejante al subconjunto de todos los enteros racionales positivos, fue la primera de las muchas propiedades completamente inesperadas de las clases infinitas.

Zenón se refería a tres problemas: Lo infinitesimal, lo infinito y la continuidad.

El problema de lo infinitesimal fue resuelto por Weierstrass, la solución de los otros dos fue comenzada por Dedekind y definitivamente acabada por Cantor.

Éste último introdujo en la ciencia una nueva forma de considerar el infinito matemático. Los resultados más notables de Cantor fueron obtenidos en la teoría de los conjuntos no numerables, el ejemplo más sencillo de los cuales es el de todos los puntos de un segmento lineal:

Como se sabe, todo segmento lineal, por pequeño que sea, contiene tantos puntos como una línea recta infinita. Además, el segmento contiene tantos puntos como existen en todo un plano, o en el total espacio tridimensional, o en la totalidad del espacio de n dimensiones (donde n es cualquier entero mayor que cero), o, finalmente, en un espacio de un número infinito numerable de dimensiones.

Si Cantor viviera podría estar orgulloso del movimiento que se ha producido hacia un pensamiento más riguroso en toda la Matemática, del cual es responsable por sus esfuerzos para colocar el Análisis (y el infinito) sobre una base sólida.